宋朝的輝煌數學成就

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宋代是中國古代數學的最繁盛時期，是中國古代數學的顛峰。公元1084年北宋政府秘書省第一次印刷出版了《算經十書》，為宋朝數學發展創造了良好的條件。宋朝湧現許多杰出的數學家，出現了大批有份量的數學著作。宋代最抽象的數學成就極高，在希臘文明與西方之間的空白地帶鶴立雞群。

宋的代數學充分發揮了絕對化的方法，把漢代方程解法的組合變換式發展到了一個奇妙的境界，不但在解法上解決了很多問題，也提出了高次方程、虛根等問題。西方的方程學在幾個世紀之后才出現。宋的方程學是一個發達的數學學科。沈括創立了“隙積術”和“會圓術”。沈括通過對堆積的酒壇和壘起的棋子之類有空隙的堆積體的研究，提出了求它們的總數的方法，這就是“隙積術”，“隙積術”其實質是高階等差級數求和，他是中國第一個高階級等差級數。沈括還從計算田畝出發，考察了圓弓形中弧、弦和矢之間的關系，提出了由弦和矢的長度求弧長的近似公式，這就是“會圓術”。會圓術是一個幾何問題，把勾股定理用于從弓行的弦、和矢求弧長。隙積術和會圓術是后世垛積術及弧矢割圓術之先河，為中國古代數學開辟了新的研究方向。

宋朝著名數學家賈憲在《黃帝九章算法細草》中提出開任意高次冪的“增乘開方法”，“增乘開方法”用于求解高次方程，是在求得一位商后即以之乘高次未知數的系數加入新方程一次項系數。在作法上把商、常數項、新方程一次項系數和高次未知數系數分別排列，再用上法對這個組合進行變換。楊輝在《九章算法纂類》中載有賈憲“增乘開平方法”、“增乘開立方法”；在《詳解九章算法》中載有賈憲的“開方作法本源”圖、“增乘方法求廉草”和用增乘開方法開四次方的例子。從開平方、開立方到四次以上的開方，在認識上是一個飛躍。西方七百年后1819年才由英國人霍納發明了同樣的方法。賈憲的二項式定理系數表與17世紀歐洲出現的“巴斯加三角”是類似的。

南宋杰出的數學家秦九韶，公元1247年在《數書九章》中將“增乘開方法”加以推廣，論述了高次方程的數值解法，並且例舉20多個取材于實踐的高次方程的解法。16世紀意大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。另外，秦九韶還對一次同余式理論進行過研究。秦九韶還推廣了孫子定理，他的“大衍求一術”將孫子定理的方法從較小的數和較少的同余式個數推廣到一般解法。秦九韶的大衍求一術整數論中一次同余式的解法，比歐洲的尤拉和高斯的有關研究要早500年。秦九韶還得出了與希臘海倫公式等價的從三角形三邊求面積的公式。劉益的“益積術”、“減從術”也是對系數組合進行變換的技術。

數學家李冶公元1248年發表《測圓海鏡》，該書是首部系統論述“天元術”（一元高次方程）的著作，在數學史上具有里程碑意義。數學家楊輝公元1261年在《詳解九章算法》中用“垛積術”求出幾類高階等差級數之和，給出了幾種高階級數的求法。公元1274年在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸捷法”，介紹了籌算乘除的各種運算法。此外楊輝還發展了九宮圖，他作了圓、直線交叉的組合。使宋在組合數學上也有進步。楊輝在數學組合上指出4×4數學方陣上交換對角結果，可惜他以后沒有進一步發展。

數學在宋代已經開始得到重視，數學的研究成果在宋朝已開始有應用的環境了。沈括說“算術不患多學，見簡即用，見繁即變，不膠一法，乃為通術也。”數學家秦九韶認為數學的研究成果“可以經世務，悉萬物”，“竊嘗設為問答以擬于用的”。數學家李冶公開批判輕視科學實踐活動，將數學貶為“賤技”、“玩物”等長期存在的士風謬論。他說“術雖居六藝之末，而施人之事，則要實惠得多。”中國的數學在宋代領先西方幾個世紀。遺憾的是宋以后中國的數學開始衰落，雖然在元朝中國古代數學還有持續的零星發展，但中國數學整體的已沒有繼續、發展運用的大環境了。如今的宋朝數學成就只有依稀從有幸流傳下來書籍的支言片言中窺其一二，所以明代數學著作《算法統宗》記載的線性方程求解不能自圓其說，因為這只是記下了宋代科學家對其的一個結論，至于過程已經沒有了……中國宋代是數學是世界的奇跡，但也是中國科學的一個悲劇……