(轉貼) 簡介碎形及分數維度

兔兔

七Ｏ年代左右，數學家 Benoit Mandelbrot 在一篇幾乎算是他思想轉捩點的論文「英國的海岸線有多長？」中，發展出了新的維度觀念 ── 幾何學：碎形。

　　三十年間，碎形幾何，與混沌理論，複雜性科學共同匯合，試圖解釋過去科學家們所忽略的非線性現象，與大自然的複雜結構，把觸角伸入，除了物理、化學之外的生理學、經濟學、社會學、氣象學，乃至於天文學所談及的星體分布。
碎形(fractal)是指具有自相似特性的現象、圖像或者物理過程等。碎形學誕生於1970年代中期，屬於現代數學中的一個分支。碎形學的創始人是具有法國和美國雙重國籍的曼德勃羅，他在1982年出版的《大自然的碎形幾何學》（The Fractal Geometry of Nature）是碎形學的經典著作。 搖身一變，碎形幾何已經變成了主要能描述大自然的幾何學了。這些研究開拓了人們對於維度、尺度、結構的新看法，筆者大致歸納如下：
　　　　◆碎形具有分數維度：不同於整數維度的一維線段，二維矩形，碎形所
　　　　　　　具有的維度是分數的，例如無窮擴張三分之四的卡區曲線，其維
　　　　　　　度是 1.2618。
　　　　◆碎形具有尺度無關性：對於「同一個」碎形結構，以不同大小的量尺
　　　　　　　來量度「可觀察的區域」，碎形會具有一致的碎形維度。例如，
　　　　　　　如果我們不同程度地放大或縮小 Mandelbrot Set，我們會發現圖形
　　　　　　　的複雜度，或摺疊程度，或粗糙程度並未因此而改變。
　　　　◆碎形具有自我模仿性：對於「同一個」碎形結構，自我模仿就是尺度
　　　　　　　一層一層縮小的結構重複性，它們不僅在越來越小的尺度裡重複
　　　　　　　細節，而且是以某種固定的方式將細節縮小尺寸，造成某種循環
　　　　　　　重現的複雜現象。　　　　
　　　　◆碎形代表有限區域的無限結構：例如，卡區的雪花曲線，是一條無限
　　　　　　　長，而結構不斷重複的線段，被限制在最初三角形的正圓區域內
　　　　　　　。例如，原本是一固定線段的 Cantor Set，最後變成一系列數量
　　　　　　　無窮，但總長度卻為零的點集合。
　　　　◆碎形隱含一種整體性：我們可以從某一尺度的碎形，來推知另一尺度
　　　　　　　的「同一個」碎形的大致樣子，這意味著一種整體性，小細節的
　　　　　　　傾向可以透露大細節的傾向，大細節的絲毫改變可以令所有小細
　　　　　　　節全面改觀，再造成整個碎形圖形的變化。
　　　　◆碎形是觀察手段的相對結果：回到 Mandelbrot 的那篇論文「英國的海
　　　　　　　岸線有多長？」，作為碎形結構的海岸線本身，在某種意義下是
　　　　　　　無限長，但是對於不同的觀察者而言，海岸線長度卻端視其手中
　　　　　　　的量尺（不同的觀察手段）而定，Mandelbrot 說：「數據結果是
　　　　　　　依觀察者與其對象而改變。」也正是這個觀念，才促使他發展出
　　　　　　　不同於過去科學家的維度量度的新理論。
　　　　◆碎形是非線性動力過程的結果：大自然的外貌、結構是非線性動力過
　　　　　　　程所造成的結果，我們也只能在非線性現象中，才能找到碎形的
　　　　　　　蹤跡，於是碎形幾何與非線性動力學有著密不可分的關係。

Mandelbrot集合是碎形幾何中的經典集合，它是一個在複平面中通過對方程式 z = z2 + c 進行迭代產生的圖形。Julia集合是碎形幾何中的另一個經典集合。其他著名的圖形還有Koch雪花和謝爾賓斯基三角形。
由於需要大量的數學運算，研究碎形必須藉助於電腦。
碎形演算法可以用來生成山脈、樹木等自然界中的場景。也有人研究使用碎形理論的數據壓縮演算法。